一、(3+1)維非線性方程的多孤子解（論文文獻綜述）
郭漢東[1]（2021）在《若干非線性模型的解析解研究》文中研究指明本文主要利用Hirota雙線性方法、Riemann-Hilbert（RH）方法和符號計算對數(shù)學物理中一些重要的非線性發(fā)展方程進行研究,求出其顯式解析解,這些解包含孤立子解、Lump解、呼吸解、怪波解和周期解以及由他們構成的作用解.通過分析表達式結(jié)構,進而借助各種各樣的圖形研究各類解豐富的動力學行為.本文以符號計算軟件Maple為計算基礎,展開非線性發(fā)展方程解析解的構造,具體包括以下兩部分工作:第一部分圍繞Hirota雙線性方法的基本理論,再結(jié)合長波極限法、廣義同宿波測試法、假設函數(shù)法研究了廣義Boiti-Leon-Manna-Pempinelli（BLMP）方程、（3+1）-維廣義Jimbo-Miwa（JM）方程、（3+1）-維廣義Yu-Toda-Sasa-Fukuyama（YTSF）方程,構造出它們的雙線性形式以及多種不同類型的解析解.第二部分利用RH方法,在零邊界條件下,通過分析譜問題及其相關散射數(shù)據(jù),計算出Lakshmanan-Porsezian-Daniel（LPD）方程、高階耦合非線性S chr（?）dinger（NLS）方程和四階耦合NLS方程的N-孤子解并詳細地研究了各類解的動力學行為.具體內(nèi)容如下:第一章為緒論部分,首先介紹了孤立子理論的研究背景和發(fā)展現(xiàn)狀,以及在這一領域中應用的一些經(jīng)典求解方法,重點介紹了符號計算、RH方法、Hirota雙線性方法以及與之相關的長波極限法、廣義同宿波測試法、假設函數(shù)法,并闡述了本論文的選題和主要工作.第二章研究了廣義BLMP方程,構造出其雙線性形式并借助假設函數(shù)法,得到了解析解的一般表達式.進一步地,通過選擇合適的參數(shù)值,求出Lump解以及Lump和孤子的非彈性作用解,并詳細研究了（x,y）平面上Lump解的傳播軌道、速度和極值問題.第三章研究一個流體力學中廣義（3+1）-維JM方程,它可以描述數(shù)學物理中的許多非線性現(xiàn)象.借助Hirota雙線性方法和長波極限方法,得到了描述多次碰撞的M-階Lump解.詳細研究了（x,y）平面上1-階Lump解的傳播軌道、速度和極值.通過廣義同宿波測試技術,得到廣義JM方程的呼吸扭結(jié)解、有理呼吸解和怪波解.同時,通過分析和計算,得到呼吸扭結(jié)解的振幅和周期隨p的增大而增大的結(jié)論,并計算出有理呼吸解和怪波解的極值.通過對N-孤子解選擇適當?shù)膹凸曹梾?shù),得到T-階呼吸解.證明了（x,y）平面上1-階呼吸解的周期由k12和k12p11+k11p12決定,位置由k11和k11p11-k12p12決定.此外,還計算出由扭結(jié)孤子、呼吸子和Lump解組成的混合解.最后給出豐富的圖形來闡述這些解的動力學特性.第四章借助于雙線性方法,得到（3+1）-維廣義YTSF方程的N-孤子解公式.在特殊參數(shù)約束下,對2M-孤子解取長波極限,可以成功構造M-階Lump解.進一步研究了（x,y）平面上1-階Lump解的傳播軌道、速度和極值問題.最后,討論三種類型的混合解,描述了呼吸子與孤子、Lump解與孤子和呼吸子之間的相互作用.結(jié)果表明,這些碰撞是彈性的,在相互作用后不會引起孤子、呼吸子和Lump解的振幅、速度和形狀的任何變化.第五章通過RH方法研究了非線性光纖中可積的LPD方程,首先對Lax對進行譜分析,得到一個RH問題.然后,通過求解無反射和非正則條件下的特殊RH問題,可以得到廣義N-孤子解公式.此外,實部、虛部對應的呼吸子和模量對應的孤子解的局部波結(jié)構和動力學行為通過圖形顯示出來,并進行了詳細討論.與2-階呼吸子和孤子解不同,3-階呼吸子和孤子解相互作用時迅速坍塌.這種現(xiàn)象導致了無界振幅,表明本章得到的高階孤子并不是基本孤子的簡單非線性疊加.第六章研究光纖中高階耦合NLS方程.在零邊界條件下,將譜問題與時間發(fā)展式轉(zhuǎn)化為簡潔的形式.其次,通過分析轉(zhuǎn)化后的譜問題及其相關性質(zhì),進而構建了一個矩陣RH問題.然后,通過位勢重構并求解無反射條件下矩陣RH問題,給出了高階耦合NLS方程多孤子解的表達式.呼吸解和孤子解的傳播和碰撞動力學行為通過選擇適當參數(shù)以圖形方式展現(xiàn)出來.本章創(chuàng)新點和亮點是通過所獲得的有趣結(jié)果來展示.一是高階線性和非線性項ε對動力學速度、相位、周期和波寬有重要影響.二是2-階呼吸子和孤子碰撞是彈性相互作用,它們始終保持有界.然而,3-階呼吸子和孤子解是非彈性相互作用,當碰撞發(fā)生時,振幅隨時間迅速減小.第七章用RH方法求出了雙折射或雙模光纖中四階耦合NLS方程的多孤子解和呼吸解.首先,通過假設位勢函數(shù)在無窮遠處快速衰減這一性質(zhì),引入一個新的變換,并將給定譜問題轉(zhuǎn)化為簡潔的形式.其次,通過分析新譜問題及其相關性質(zhì),得到一個在實軸上的矩陣RH問題.然后,通過求解無反射情況下矩陣RH問題,重構位勢并給出了四階耦合NLS方程多孤子解的一般表達式.同樣的,詳細分析了高階線性和非線性項r對孤子解和呼吸解的速度、相位、周期和波寬的影響.有趣的是,3-孤子解表現(xiàn)出不同的動力學行為,即在傳播過程中,兩個右向波的振幅逐漸增大.第八章是總結(jié)和展望.首先對本論文所使用的方法,研究的方程以及得到的主要結(jié)果進行總結(jié).并對以后即將從事的研究工作進行設想和展望,根據(jù)目前研究結(jié)果,拓寬方法的使用范圍,更深入研究一些重要的數(shù)學物理方程,期待未來的研究內(nèi)容和結(jié)論更上一個層次.
劉素芝[2]（2021）在《高維非線性系統(tǒng)解析解的研究與應用》文中認為有關于非線性偏微分方程（PDE）研究可以被用在光信息傳輸、等離子體物理、玻色-愛因斯坦凝聚和流體力學等領域。而非線性薛定諤方程作為偏微分方程中至關重要的分支之一,對其孤子解析解的結(jié)構和性質(zhì)進行研究與分析,是我們所要完成的主要任務。本文的主要技術路線是以Hirota雙線性方法為核心,通過有理變換等形式且結(jié)合D算子的相關性質(zhì)完成從非線性到兩個或多個線性形式的轉(zhuǎn)換,去求得孤子的解析解,并對孤子傳輸特性作進一步分析。以色散漸變光纖為模型,從（1+1）維方程模型入手,求得孤子的雙孤子、三孤子解析解。再研究孤子在（2+1）維方程模型中孤子的傳輸路徑,忽略方程中各向異性的因素,求雙孤子解析解,并分析解的結(jié)構和性質(zhì)。結(jié)果表明孤子在兩種形式下選取色散項為高斯函數(shù)時,孤子傳輸較為穩(wěn)定,通過調(diào)整高斯項中某些系數(shù)的取值,孤子的相移均能夠得到更好的控制,但在（2+1）維形式下,原點附近處的孤子傳輸幅度會發(fā)生驟減,呈現(xiàn)“圓形凹谷”形態(tài),的大小,這種情況可以通過調(diào)整高斯項中的系數(shù)得到明顯得改善,孤子由原來的“截斷”式傳輸變得逐漸均勻與平滑,孤子間的相互作用能夠得到顯著的削弱。以上研究結(jié)果在光纖傳輸機制與應用上有著一定幫助。以一個高階的非線性薛定諤方程為研究模型,令γ=0,求得模型的單孤子、雙孤子以及三孤子解?；谝陨辖庋芯慨斊鏀?shù)階色散項作用時孤子在傳輸距離和時間上的變化。研究結(jié)果表明隨著五階色散與三階色散之間約束值的改變,孤子的傳輸方向也會發(fā)生變化,隨著約束值的增大,孤子間的內(nèi)聚性得到增強。此外,研究了非線性項對孤子相互作用的影響,對孤子束縛結(jié)及周期變化規(guī)律總結(jié)出了三種不同的孤子動力學特征,以上研究成果不僅對在光學領域上的應用有一定的幫助,而且對于非線性系統(tǒng)中的模糊自適應控制也有著指導價值。在以上高階模型基礎上令α=δ=0,進一步轉(zhuǎn)換為目前現(xiàn)有的變系數(shù)（2+1）維塰瑟堡鐵磁自旋鏈的可積模型,求取雙孤子解析解,研究分析了多種孤子同時傳輸時由于孤子間排斥和吸引所造成的不同傳輸形態(tài),發(fā)現(xiàn)對于色散項和非線性項的改變影響著孤子相互作用形態(tài)的變化,調(diào)整色散項與非線性項之間的約束值,孤子的內(nèi)聚性得到增強,相移發(fā)生變化。此外,對非線性項的值做有效調(diào)整,孤子的相互作用得到明顯削弱,可實現(xiàn)長距離穩(wěn)定傳輸。以上研究結(jié)果進一步豐富與深化了目前塰瑟堡鐵磁自旋鏈模型。
岳云飛[3]（2021）在《局域波和調(diào)制不穩(wěn)定性的若干問題研究》文中認為本文基于Maple、Mathematica和Matlab三類符號計算軟件平臺,利用調(diào)制不穩(wěn)定性分析、廣義Darboux變換和Hirota雙線性方法,研究了幾類非線性可積系統(tǒng)的局域波及相互作用解,并分析了相應的動力學特征.主要開展三個方面的工作:高階非線性Schr¨odinger方程的調(diào)制不穩(wěn)定性分析、高階怪波解及態(tài)轉(zhuǎn)換;廣義耦合Fokas-Lenells方程的無窮多守恒律、調(diào)制不穩(wěn)定性分析及不同類型局域波的相互作用解;高維非線性系統(tǒng)的高階局域波及相互作用解.具體研究內(nèi)容如下:第一章,重點介紹了非線性局域波、調(diào)制不穩(wěn)定性分析、經(jīng)典Darboux變換方法、廣義Darboux變換方法和Hirota雙線性方法的相關背景和研究現(xiàn)狀,并簡要概述了本論文的選題和主要結(jié)果.第二章,研究了無窮階非線性Schr¨odinger方程族的調(diào)制不穩(wěn)定性分布特征,獲得了調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)域劃分與高階色散項之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過廣義Darboux變換構造了六階非線性Schr¨odinger方程的高階怪波,并分析高階色散項對怪波解頻譜、波寬及振幅的影響.進一步給出了怪波與W型孤子之間態(tài)轉(zhuǎn)換的條件及解對應的光譜圖.特別地,驗證了譜分析和調(diào)制不穩(wěn)定性分析所得結(jié)果的一致性.第三章,研究了廣義耦合Fokas-Lenells方程的調(diào)制不穩(wěn)定性分布特征,發(fā)現(xiàn)其增益函數(shù)與背景振幅、背景頻率、擾動頻率及物理參數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,且調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)域面積隨背景振幅增大而減小.從譜問題滿足的Riccati型方程出發(fā),得到了方程的無窮多守恒律.通過廣義Darboux變換獲得了高階怪波及其分別與亮暗孤子和呼吸子的相互作用解,并且發(fā)現(xiàn)這些局域波的結(jié)構都是參數(shù)可控的.第四章,研究了3+1維Hirota雙線性方程、3+1維廣義Jimbo-Miwa方程和3+1維非線性演化方程的局域波及相互作用解.首先,基于Hirota雙線性方法結(jié)合長波極限和參數(shù)復化技巧,獲得了3+1維Hirota雙線性方程的一階呼吸子、塊解和線怪波,進一步得出這些解的相移、傳播方向、形狀和能量都是參數(shù)可控的;然后,還分別研究了3+1維廣義Jimbo-Miwa方程和一個非線性演化方程的亮暗高階局域波及相互作用解,包括二階呼吸子、二階線怪波以及孤子、呼吸子、塊解和怪波四類解的兩兩相互作用情況,并結(jié)合圖像生動刻畫了相關解的動力學特征.第五章,應用Hirota雙線性方法研究了3+1維Kudryashov-Sinelshchikov方程的亮暗高階有理解和N波共振解.通過引入多項式函數(shù),得到了亮暗兩種結(jié)構的怪波型有理解和W型有理解.通過對一至三階有理解的分析,發(fā)現(xiàn)了有理解的階數(shù)與極值的對應關系.再引入兩個多項式函數(shù)與第一個多項式進行組合,不僅可獲得上述類型解,還可通過參數(shù)調(diào)控實現(xiàn)高階怪波型或W型有理解相應裂變?yōu)槎鄠€一階怪波型或W型孤子的組合結(jié)構.在特定約束和色散關系下,得到了該方程的N波共振解,包括亮-聚變、暗-聚變、亮-裂變和暗-裂變共振解.第六章,對全文進行簡要總結(jié),并對后續(xù)研究工作做了進一步展望.
杜夏夏[4]（2021）在《等離子體、海森堡鐵磁自旋鏈中非線性模型的Lie群分析及解析研究》文中提出自然界中存在著形形色色的波動現(xiàn)象。等離子體中的波動模式與太陽風對地球磁層的影響、太陽耀斑和恒星演化有密切的聯(lián)系,而鐵磁性材料中的自旋波（磁矩有序材料中磁化的集體激勵行為）被廣泛應用于通信系統(tǒng)和雷達中。人們發(fā)現(xiàn)通過建立合適的非線性模型可以更好地理解等離子體和鐵磁自旋鏈中的非線性波。本文針對等離子體和海森堡鐵磁自旋鏈中的非線性模型進行Lie群分析和解析研究,主要內(nèi)容如下:在第一章的緒論中,我們介紹了等離子體和海森堡鐵磁自旋鏈中的非線性現(xiàn)象以及常見的非線性模型,并介紹了非線性模型的對稱性和守恒律的研究進展。此外,我們給出了本文所需的主要數(shù)學方法和本文的結(jié)構安排。在第二章中,我們研究了描述非線性等離子體聲波在磁化電子-離子等離子體中傳播的（3+1）維修正Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程。利用Hirota方法,我們構造了其雙線性形式,進而得到其單、雙、三孤子解。我們借助圖像討論了等離子體聲孤波的特征和孤波間的相互作用,并給出了非線性系數(shù)（與正負離子質(zhì)量比、離子數(shù)密度、低溫電子歸一化初始密度、高溫電子歸一化初始密度、低溫電子和高溫電子溫度比相關）和色散系數(shù)（與正負離子質(zhì)量比、離子數(shù)密度相關）對等離子體聲孤波的振幅的影響。利用Lie對稱群理論,我們還得到了其Lie點對稱生成元和相應的對稱約化方程。借助G’/G展開法,我們得到了若干解析解。該方程具備嚴格自伴性,基于此性質(zhì)可得到其守恒律。在第三章中,我們討論了可描述電子-正電子-離子（e-p-i）磁化等離子體中離子聲漂移波傳播的（2+1）維修正ZK方程。我們得到了 Lie點對稱生成元和Lie點對稱群,并給出了一維Lie子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)?；谠撟顑?yōu)系統(tǒng),我們構造了冪級數(shù)解、多孤子解、類呼吸子解和周期波解。在研究多個離子聲漂移孤波間的相互作用時,我們發(fā)現(xiàn)了兩種不同類型的彈性相互作用現(xiàn)象,其中包括迎面型和追趕型。通過研究可知,離子聲漂移孤波和周期波的振幅與電子德拜長度正相關而與離子拉莫爾半徑的絕對值負相關。此外,我們發(fā)現(xiàn)該修正ZK方程不僅具備嚴格自伴性,還具備非線性自伴性,基于其非線性自伴性,我們得到了其守恒律。在第四章中,我們研究了描述離子聲波在無碰撞磁化e-p-i等離子體中傳播的（3+1）維Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程。我們得到了 Lie點對稱生成元和Lie對稱群,并利用對稱生成元得到了約化方程。通過冪級數(shù)展開法和多項式展開法求解某一約化方程,我們得到了冪級數(shù)解和行波解（其中包含激波解）。我們使用圖像模擬了離子聲激波,并討論了歸一化離子回旋頻率、運動粘度、麥克斯韋平衡偏差測量值、離子和電子的溫度比、電子和正電子的溫度比對離子聲激波振幅的影響。在得到該方程的非線性自伴性條件后,我們給出了其守恒律。在第五章中,我們研究的對象是一個描述海森堡鐵磁自旋鏈的非線性自旋動力學行為的非線性模型,（2+1）維非線性Schrodinger方程。我們給出了Lie點對稱生成元和Lie對稱群,其中Lie對稱群與該方程的時間、空間、尺度、旋轉(zhuǎn)、伽利略變換有關?；贚ie點對稱生成元,我們得到了該方程的約化系統(tǒng)。對約化系統(tǒng)使用多項式展開法可構造出該方程的若干群不變解（包含孤子型群不變解）。在利用Darboux變換得到了n階呼吸子解后（n為正整數(shù)）,我們發(fā)現(xiàn)在一定條件下,自旋呼吸子可以轉(zhuǎn)換為lump,畸形波和兩種周期波（本文稱之為周期Ⅰ型波和周期Ⅱ型波）。通過二階呼吸子解,我們使用圖像模擬出了雙自旋呼吸子間,雙周期波間,自旋呼吸子與周期Ⅰ型波間的相互作用。通過理論和圖像分析發(fā)現(xiàn),lump和畸形波分別是自旋呼吸子和周期Ⅰ型波的長波極限。此外,我們構造了半有理解來模擬lump和畸形波在周期背景上的傳播,并討論了晶格點自旋的雙線性交換和鄰近相互作用的系數(shù)、單軸晶場各向異性參數(shù)以及晶格參數(shù)對磁孤子、自旋呼吸子等各種非線性自旋激發(fā)的影響。第六章為本文工作和創(chuàng)新點的總結(jié),并給出對未來工作的展望。
劉建國[5]（2021）在《非線性偏微分方程精確解及其動力學性質(zhì)研究》文中研究表明非線性偏微分方程可以被用來描述力學、控制過程、生態(tài)與經(jīng)濟系統(tǒng)、化工循環(huán)系統(tǒng)及流行病學等領域的問題,是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支。本文主要利用Hirota雙線性方法、（G’/G）-展開法、變系數(shù)齊次平衡法、三波法和符號計算方法研究非線性偏微分方程的精確解以及動力學性質(zhì),包括lump解、怪波解和周期解等。本文的主要內(nèi)容和安排如下:第一章主要介紹了非線性偏微分精確解的一些重要分類,包括了孤立波、怪波、lump波以及呼吸子。介紹了本文需要使用的一些基本的方法,包括了 Hirota雙線性方法、Bell多項式和Backlund變換。第二章首先介紹了 lump解的求解方法和步驟。隨后利用這個方法獲得了（3+1）維孤子方程的lump解,分別討論了 lump解和孤子之間的交互作用以及l(fā)ump解和周期解之間的交互作用。獲得了（2+1）維非對稱Nizhnik-Novikov-Veselov方程的lump解,討論了 lump解與孤子解之間的交互作用。隨后對lump解的求解方法進行了修正,使之適合求解變系數(shù)非線性偏微分方程,這個工作尚未在其他文獻中討論。利用修正后的求解方法獲得了（3+1）維廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的lump解并對其動力學性質(zhì)進行了分析。列出了（2+1）維變系數(shù)KP方程的lump解,并討論了 lump解與單孤子、雙孤子之間的交互作用。第三章研究了一個（2+1）維破裂孤子方程,該方程描述了沿y軸傳播的Riemann波與長波的（2+1）維相互作用。利用一個特殊的ansatz函數(shù)和Hirota雙線性形式,獲得了（2+1）維破裂孤子方程的一些全新的雙周期孤子解,并通過大量的三維圖形展示了解的動力學性質(zhì)。第四章研究 了一個（3+1）維 Boiti-Leon-Manna-Pempinelli 方程,該方程在流體和等離子體動力學有重要的應用。沿x軸傳播的長波可以被視為不可壓縮流體的模型?；冢℅’/G）-展開法和符號計算,得到了（3+1）維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程豐富的雙曲函數(shù)和三角函數(shù)形式的精確解。通過一些圖形顯示了特定的局部激發(fā)和兩個孤立波之間的相互作用。第五章研究了一個（3+1）維廣義淺水波方程,該方程在天氣模擬、潮汐波、河流和灌溉水流、海嘯預報等方面有著廣泛的應用。基于擴展的變系數(shù)齊次平衡法和兩個新的ansatz函數(shù),構造了（3+1）維廣義淺水波方程的自Backlund變換、非行波孤子型解和多周期孤子解,包括了周期交叉扭結(jié)波,周期雙孤波和兩個孤立波的呼吸類型解。此外還有交叉扭結(jié)三孤子和交叉扭結(jié)四孤子解并討論了所得解的傳播特性和相互作用。第六章通過三波法研究了新的（3+1）維廣義KP方程、（2+1）維Ito方程以及新的（2+1）維Korteweg-de Vries方程的精確解。并在三波法的基礎上進行了推廣使之能夠應用到變系數(shù)非線性偏微分方程。以（3+1）維廣義變系數(shù)淺水波方程為例,獲得大量新的精確解。第七章提出了一種改進的符號計算方法。通過使用改進的符號計算方法,獲得了廣義（2+1）維Boussinesq方程和變系數(shù)KP方程的多怪波解。這些獲得的多怪波解的動力學特征以三維圖形和等高線圖進行了展示。與原始符號計算方法相比,我們的方法不需要找到非線性系統(tǒng)的Hirota雙線性形式。第八章對本文的主要內(nèi)容和創(chuàng)新工作進行了總結(jié),展望了未來的研究方向。
哈金婷[6]（2020）在《基于達布變換和雙線性形式的非線性方程的精確解研究》文中提出孤子理論作為非線性科學研究的一部分已在海洋學,非線性光學,電磁學等領域中扮演著重要的角色.目前在孤子理論中,可積系統(tǒng)的構造與非線性方程精確解的研究是國內(nèi)外眾多學者密切關注的學術課題.非線性方程的精確解不僅能深入探索方程的本質(zhì)結(jié)構,還有助于進一步理解實際生活中所產(chǎn)生的物理現(xiàn)象.本文主要針對孤子理論中的經(jīng)典求解方法包括達布變換和基于雙線性導數(shù)法發(fā)展形成的求解理論,探索方法的應用和改進,以得到方程豐富的精確解.全文結(jié)構如下:第一章闡述了孤子的起源和發(fā)展,歸納總結(jié)了孤子理論的重點研究及本文所做的工作.第二章簡要概述了達布變換的求解原理,利用達布變換思想探索Dirac-type方程和超NLS-m Kd V方程的精確解,并展示所得解的立體圖象.在第三章中,將有理函數(shù)變換法的思想進行改進并應用于一個擴展的Jimbo-Miwa方程,求得方程的周期和雙曲函數(shù)行波解,復合解及共振多波解等豐富的精確解.在第四章中,基于雙線性形式,利用正二次函數(shù)法研究廣義（3+1）維Kadomtsev-Petviashvili方程及其在變量z=x時的約化方程,分別求得它們的lump-type解和lump解,借助圖象展示lump-type解和lump解的結(jié)構,分析所得解的動力學性質(zhì).另外將拓展的正二次函數(shù)法應用于Hirota-Satsuma-Ito方程和兩種新的研究對象,分別得到兩種lump-stripe解,怪波解及多波浪解.最后對所研究的內(nèi)容進行了總結(jié),并展望了今后的科研重點.
茆晉晉[7]（2020）在《若干非線性微分方程的對稱性、反散射變換以及解析解的研究》文中進行了進一步梳理在本文中,我們基于幾種不同的方法來研究幾類非線性薛定諤方程的Lie對稱、反散射變換、守恒律、精確解以及孤子解.非線性微分方程能夠描述許多領域中的非線性現(xiàn)象,如數(shù)學、生物、物理甚至金融領域,因此對于這些方程的研究是具有潛在價值.對于非線性微分方程的對稱性、反散射變換以及解析解的研究,有助于解釋一些對應的物理現(xiàn)象以及在工程中的應用.例如,廣義高階導數(shù)非線性薛定諤方程和（2+1）維手性非線性薛定諤方程,它們分別描述脈沖在光纖中的傳播和許多物理介質(zhì)中的振幅包絡線.本文的結(jié)構安排如下:在第一章中,簡單介紹了本方向的研究背景及意義的相關理論,其中詳細描述守恒律和黎曼-希爾伯特方法的發(fā)展史.最后簡要介紹本文主要研究內(nèi)容.在第二章中,基于Lie對稱方法研究了廣義高階導數(shù)非線性薛定諤方程和（2+1）維手性非線性薛定諤方程的對稱算子和對稱交換子.然后利用最優(yōu)系統(tǒng)方法,首次獲得該方程的對稱約化和群不變解.在收斂性分析的基礎上,成功的找到其相應顯式冪級數(shù)解.同時,通過Ibragimov提出的新守恒律理論,我們進而得出對應方程的此類守恒律.最后,基于相應的符號計算方法,獲得方程的精確行波解.在第三章中,首次將黎曼-希爾伯特方法推廣到三耦合四階非線性薛定諤方程中,并求出其對應的孤子解.結(jié)合Lax對的譜分析,將本征函數(shù)和譜函數(shù)的分析性相結(jié)合,成功的建立了原方程的黎曼-希爾伯特問題.在無反射情況下,我們得到了這種黎曼-希爾伯特問題的孤子解,進而獲得原方程的多孤子解.此外,通過選擇適當?shù)膮?shù),給出了該方程的一孤子解和兩孤子解的局部結(jié)構以及動力學行為.在第四章中,首次研究了實驗室坐標中的非線性薛定諤方程的非零邊界問題并給出了一些孤子解.對漸進Lax對進行分析,成功的獲得Jost函數(shù)、散射矩陣及其解析性和對稱性.我們獲得了離散點的漸進分析、跡公式和“”條件.通過求解黎曼-希爾伯特問題,進而獲得原方程的一些孤子解.最后,我們還將其推廣到雙極點的情況,并建立了對應的離散光譜,剩余條件,跡公式以及“”條件.此外,為更詳細的描述這種非線性現(xiàn)象,我們用圖形方式分析方式描述由各個參數(shù)的影響引起的這些孤子解的某些特征.在第五章中,基于應用振幅假設方法研究了具有零階耗散的廣義Hirota方程、廣義非線性薛定諤方程以及二維復Ginzburg-Landau方程的亮暗孤子解.并且首次研究該方程的穩(wěn)定性,同時還使用線性穩(wěn)定性分析的方法來分析方程的不穩(wěn)定性.最后,還給出方程的行波解和高斯孤子.在第六章中,基于二元Bell多項式方法推到出（3+1）維不可積分KdV型方程和（3+1）維B型Kadomtsev-Petviashvili方程的雙線性形式,進一步推到出其相應的孤子解.利用擴展的同宿文本方法,首次得到方程的同宿呼吸波解,進一步推到出怪波解.隨后,我們又推到出該方程的lump解,還將其推廣到（3+1）維gKP方程和（3+1）維vcgBKP方程中,并求出其相應的lump解.最后,推到出該方程的lumpoff解,和瞬時/怪波解.在最后一章中,對本文進行一些簡單的總結(jié)和展望.
趙學慧[8]（2020）在《非線性發(fā)展方程的孤子解及相關性質(zhì)》文中研究表明非線性現(xiàn)象普遍存在于自然界和人類的日常生活中,為了揭示非線性現(xiàn)象的原理和機制,研究者們通常用非線性發(fā)展方程建立模型去描述這些現(xiàn)象,從而通過非線性發(fā)展方程的解析解解析地研究這些非線性現(xiàn)象。本文從解析的角度研究了幾個重要的非線性發(fā)展方程,從而得到的孤子解及性質(zhì)既有理論價值也有實際應用。本文的主要內(nèi)容概述如下:第一章緒論介紹了非線性科學和孤子相關的背景及研究現(xiàn)狀,概述了所研究非線性發(fā)展方程用到的方法,比如Hirota、Bell多項式等方法,同時給出論文的主要工作和結(jié)構安排。第二章從孤子解的角度研究了光纖中的非線性高階Schrodinger方程,該方程描述了光脈沖在光纖中的傳播?；贏blowitz-Kaup-Newell-Segur系統(tǒng),導出了方程的Lax對和無窮守恒律,應用Darboux變換方法得到方程的單孤子、雙孤子和三孤子解的表達式,圖示了單孤子、雙孤子和三孤子的傳播及相互作用。第三章分別研究了Heisenberg鐵磁自旋鏈中的（2+1）維常系數(shù)和變系數(shù)的非線性Schrodinger方程。對于常系數(shù)方程,應用符號計算和Hirota方法,導出了雙線性形式、暗單孤子、暗雙孤子和暗三孤子解。畫圖說明了暗孤子的振幅和形狀在傳播過程中保持不變,說明了能量在（2+1）維Heisenberg鐵磁自旋鏈中的傳輸是穩(wěn)定的。通過漸近性分析,討論了暗孤子之間的彈性和非彈性相互作用。利用線性穩(wěn)定性分析方法對調(diào)制不穩(wěn)定性進行了分析,證明了暗孤子是穩(wěn)定的;對于變系數(shù)的方程,導出了Lax對和無窮守恒律,證明了該方程的多孤子解的存在性。通過輔助函數(shù)的Hirota方法,導出了雙線性形式、暗單孤子解、暗雙孤子解和暗三孤子解。圖中呈現(xiàn)了暗孤子的傳播和相互作用,孤子的速度與二階和四階色散項的系數(shù)線性相關,而孤子的振幅并不依賴于它們。兩個孤子以及三個孤子之間的相互作用是彈性的。第四章研究了一個廣義Schrodinger-Boussinesq系統(tǒng),描述了波在等離子體中的平穩(wěn)傳播。利用Hirota方法和符號計算,得到了雙線性形式、單孤子解、雙孤子解和三孤子解。圖示了孤子的傳播和相互作用,在傳播過程中,單孤子的振幅、速度和形狀保持不變,這意味著能量在磁聲波中的傳輸是穩(wěn)定的,通過漸近性分析,討論了磁聲波的相互作用,分別描述了兩個孤子之間的迎面、追趕和束縛態(tài)相互作用,兩個孤子之間的相互作用是彈性的,同時還給出束縛態(tài)孤子與單個孤子之間以及三孤子之間的相互作用都是彈性的。第五章分別研究了水波中變系數(shù)的Broer-Kaup方程和Korteweg-de Vries方程,首先,應用Bell多項式方法和符號計算,得到了方程的雙線性形式,Backlund變換和Lax對。對于得到的Broer-Kaup方程的雙線性形式,導出了方程的單孤子解及雙孤子解,應用Korteweg-de Vries方程的雙線性形式,構建了方程的N孤子解,利用Riemann θ函數(shù)法及同宿測試法得到了周期波和呼吸波解。第六章研究了流體里面的兩個系統(tǒng),分別是Boussinesq系統(tǒng)和Davey-Stewartson系統(tǒng)。首先,利用Bell多項式方法,得到了系統(tǒng)的Backlund變換和Lax對,然后結(jié)合模擬的圖像,觀察到了單孤子的傳播以及雙孤子之間的相互作用。第七章總結(jié)了本論文的主要結(jié)論與創(chuàng)新點,并對今后的研究工作進行了展望。
李偉[9]（2020）在《高維非線性演化方程高階波解的符號計算研究》文中研究說明非線性演化方程是描述非線性現(xiàn)象的一類非常重要的數(shù)學模型。非線性演化方程精確解的符號計算研究始終是數(shù)學物理領域很重要的研究課題。隨著計算機代數(shù)的飛速發(fā)展,計算機代數(shù)系統(tǒng)為人們求解非線性演化方程的精確解提供了強有力的工具和手段。近幾年,高維甚至超高維非線性演化方程精確解的符號計算研究逐漸成為微分方程領域的研究熱點。本文基于符號計算軟件Maple,開展了高維非線性演化方程多種類型波解的符號計算研究,主要包括以下兩方面的工作。第一部分主要通過簡單Hirota方法和直接代數(shù)法構造高維非線性演化方程多種類型的高階波解。簡單Hirota方法是構造非線性演化方程精確解的一種有效方法。但是,該方法推導出的N-孤子解公式對不可積方程往往并不適用,本文通過引入?yún)?shù)約束條件獲得高維不可積方程的有效N-孤子解。在此基礎上,結(jié)合Painlevé截斷展開、共軛參數(shù)法、長極限法計算了（3+1）維B-type Kadomtsev-Petviashvili（BKP）方程和（3+1）維擴展的Jimbo-Miwa（JM）方程任意高階的孤子解、呼吸子解和lump解;進而基于直接代數(shù)法,并結(jié)合繼承求解和并行計算技術,分別構造了（3+1）維BKP方程的高階怪波解、孤子和有理波之間的相互作用解,（3+1）維擴展的JM方程的孤子、有理波和多種周期波之間的多波相互作用解。第二部分基于有效的N-孤子解,本文提出了一種N-孤子分解算法構造高維非線性演化方程的高階孤子、呼吸子和有理波之間的多波相互作用解。在獲得有效的高階孤子解之后,可基于高階孤子解進一步由Satsuma等人提出的共軛參數(shù)法和長極限法分別計算高維非線性演化方程的高階呼吸子解和有理波解。受該構造過程的啟發(fā),本文提出了構造高維非線性演化方程lump波、呼吸子和孤子之間的高階相互作用解的新的分解算法。其主要思路是將自然數(shù)N分解為:N=2M+2K+S,其中M,K和S均為自然數(shù)。然后利用長極限法和共軛參數(shù)法將N-孤子公式中的前2M個孤子轉(zhuǎn)換為M個lump波,利用共軛參數(shù)法將N-孤子公式中的中間2K個孤子轉(zhuǎn)換為K個呼吸子,最后的S個孤子仍然保持為孤子,即可獲得高維非線性演化方程的M-lump、K-呼吸子和S-孤子之間的相互作用解?；谠摲纸馑悸?我們分別構造了（4+1）維Fokas方程和（3+1）維廣義的KP方程的lump波、呼吸子和孤子之間的高階相互作用解。
石丹丹[10]（2020）在《幾類整數(shù)和分數(shù)階微分方程解的若干問題的研究》文中提出非線性問題一直是數(shù)學物理中一個熱門的研究課題,近幾十年來,隨著科研的不斷深入,非線性科學取得了巨大進展.研究發(fā)現(xiàn)自然界中的許多現(xiàn)象可以通過建立非線性發(fā)展方程的解的數(shù)學模型來描述.眾多學者也已經(jīng)探索出多種有效的求非線性方程精確解的方法,但是目前還沒有一種方法可以適用于所有的非線性問題,仍有許多非線性發(fā)展方程的解有待探索.本文主要使用Hirota雙線性方法,推廣的（G’/G）-展開法,李對稱分析法等研究幾類整數(shù)階和分數(shù)階的非線性偏微分方程.第一章,介紹了本文的研究背景,現(xiàn)狀和意義.第二章,在KP方程雙線性系統(tǒng)的基礎上,得到了（3+1）維Jimbo-Miwa方程的新的多孤子解.同時,得到了許多由線性孤子和lump波組成的半有理解.通過繪制三維圖形研究了線性孤子和lump波聚集成線性孤子的融合過程和線性孤子分裂成線性孤子和lump波的過程.這些結(jié)果以前從未研究過,豐富了Jimbo-Miwa方程的動力學模型,可以解釋和預測工程,航天,氣象等領域相應的動力學現(xiàn)象.第三章,首先研究了廣義時間分數(shù)階泡沫排水方程的精確解.這里采用李群標度變換法和改進的（G’/G）-展開法.該方程描述了泡沫在重力作用下垂直密度分布的演變過程.廣義時間分數(shù)階泡沫排水方程的新的精確解和Maple圖可以幫助我們更好地理解物理現(xiàn)象.其次利用Ansatz方法求出了共形時空分數(shù)階修正等寬波方程的明,暗解.此外,首次用分數(shù)階（G’/G）-展開法求出了時空分數(shù)階修正等寬波方程的周期解,暗解,孤子解和類孤子解.并給出解的動態(tài)模型,結(jié)果表明,這兩種方法對于求解其他類型的非線性分數(shù)階微分方程是適用的,而且更有效.第四章,研究了耦合時間分數(shù)階Boussinesq-Burgers系統(tǒng),該系統(tǒng)用來研究電力系統(tǒng)中流體的流動,描述淺水波的傳播.首先考慮了李點對稱性,相似性變換.利用所得到的對稱性,將耦合時間分數(shù)階Boussinesq-Burgers系統(tǒng)用Erdelyi-Kober分數(shù)階微分算子化為非線性分數(shù)階常微分方程.其次利用冪級數(shù)展開法求解了簡化的分數(shù)階常微分系統(tǒng),同時分析了冪級數(shù)解的收斂性.另外,利用新的守恒定理,構造了耦合時間分數(shù)階Boussinesq-Burgers系統(tǒng)的守恒定律.特別給出了q-同倫分析方法對耦合時間分數(shù)階Boussinesq-Burgers系統(tǒng)的數(shù)值模擬.第五章,對本文的研究成果進行了總結(jié),同時結(jié)合現(xiàn)有的研究成果及自身掌握的理論基礎,探討了未來可以嘗試的研究方向,給出今后的工作展望.
二、(3+1)維非線性方程的多孤子解（論文開題報告）
（1）論文研究背景及目的
此處內(nèi)容要求：
首先簡單簡介論文所研究問題的基本概念和背景，再而簡單明了地指出論文所要研究解決的具體問題，并提出你的論文準備的觀點或解決方法。
寫法范例：
本文主要提出一款精簡64位RISC處理器存儲管理單元結(jié)構并詳細分析其設計過程。在該MMU結(jié)構中,TLB采用叁個分離的TLB,TLB采用基于內(nèi)容查找的相聯(lián)存儲器并行查找,支持粗粒度為64KB和細粒度為4KB兩種頁面大小,采用多級分層頁表結(jié)構映射地址空間,并詳細論述了四級頁表轉(zhuǎn)換過程,TLB結(jié)構組織等。該MMU結(jié)構將作為該處理器存儲系統(tǒng)實現(xiàn)的一個重要組成部分。
（2）本文研究方法
調(diào)查法：該方法是有目的、有系統(tǒng)的搜集有關研究對象的具體信息。
觀察法：用自己的感官和輔助工具直接觀察研究對象從而得到有關信息。
實驗法：通過主支變革、控制研究對象來發(fā)現(xiàn)與確認事物間的因果關系。
文獻研究法：通過調(diào)查文獻來獲得資料，從而全面的、正確的了解掌握研究方法。
實證研究法：依據(jù)現(xiàn)有的科學理論和實踐的需要提出設計。
定性分析法：對研究對象進行“質(zhì)”的方面的研究，這個方法需要計算的數(shù)據(jù)較少。
定量分析法：通過具體的數(shù)字，使人們對研究對象的認識進一步精確化。
跨學科研究法：運用多學科的理論、方法和成果從整體上對某一課題進行研究。
功能分析法：這是社會科學用來分析社會現(xiàn)象的一種方法，從某一功能出發(fā)研究多個方面的影響。
模擬法：通過創(chuàng)設一個與原型相似的模型來間接研究原型某種特性的一種形容方法。
三、(3+1)維非線性方程的多孤子解（論文提綱范文）
（1）若干非線性模型的解析解研究（論文提綱范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 緒論 |
| 1.1 背景介紹及研究現(xiàn)狀 |
| 1.2 非線性模型可積性的定義 |
| 1.3 非線性模型常用求解方法簡介 |
| 1.3.1 反散射方法 |
| 1.3.2 Hirota雙線性方法 |
| 1.3.3 符號計算與常見的局域波解 |
| 1.3.4 Riemann-Hilbert方法 |
| 1.4 本文的主要研究內(nèi)容 |
| 第二章 廣義BLMP方程的Lump解和Lump-扭結(jié)孤子解 |
| 2.1 廣義BLMP方程 |
| 2.2 尋找Lump解 |
| 2.3 Lump-扭結(jié)孤子解 |
| 2.4 總結(jié) |
| 第三章 流體力學中廣義(3+1)-維Jimbo-Miwa方程的高階Lump解、高階呼吸解和混合解 |
| 3.1 廣義(3+1)-維Jimbo-Miwa方程的N-孤子解 |
| 3.2 M-階Lump解 |
| 3.3 呼吸-扭結(jié)解、有理呼吸解和怪波解 |
| 3.3.1 呼吸-扭結(jié)解 |
| 3.3.2 有理呼吸解和怪波解 |
| 3.4 T-階呼吸解 |
| 3.5 混合解 |
| 3.5.1 由呼吸解和扭結(jié)孤子構成的作用解 |
| 3.5.2 由Lump解和扭結(jié)孤子或者呼吸解構成的作用解 |
| 3.5.3 1-階Lump解與1-孤子構成的相互做用解 |
| 3.6 總結(jié) |
| 第四章 (3+1)-維廣義Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程的動力性 |
| 4.1 廣義YTSF方程的N-孤子解 |
| 4.2 M-階Lump解 |
| 4.3 混合解 |
| 4.4 結(jié)論 |
| 第五章 用Riemann-Hilbert方法求解光纖中Lakshmanan-Porsezian-Daniel方程豐富的解 |
| 5.1 矩陣RH問題的建立 |
| 5.2 廣義N-孤子解公式 |
| 5.3 精確呼吸解和孤子解的動力學行為 |
| 5.4 結(jié)論 |
| 第六章 光纖中高階耦合非線性Schr(?)dinger方程的多孤子解及Riemann-Hilbert方法 |
| 6.1 RH問題的建立 |
| 6.2 HC-NLS系統(tǒng)的多孤子解 |
| 6.3 精確呼吸解和孤子解的動力學行為 |
| 6.4 結(jié)論 |
| 第七章 雙折射或雙模光纖中四階耦合非線性Schr(?)dinger方程的Riemann-Hilbert問題和動力性 |
| 7.1 四階耦合NLS方程 |
| 7.2 新舊Lax對的變換 |
| 7.3 矩陣RH問題 |
| 7.4 四階耦合NLS方程的N-孤子解 |
| 7.5 精確呼吸解和孤子解的動力學行為 |
| 7.6 結(jié)論 |
| 第八章 總結(jié)與展望 |
| 8.1 總結(jié) |
| 8.2 展望 |
| 參考文獻 |
| 攻讀博士學位期間完成的工作 |
| 攻讀博士學位期間參與的項目及獲獎情況 |
| 致謝 |
（2）高維非線性系統(tǒng)解析解的研究與應用（論文提綱范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 緒論 |
| 1.1 研究背景及意義 |
| 1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 |
| 1.3 研究方法 |
| 1.3.1 Hirota雙線性方法 |
| 1.3.2 Backlund變換 |
| 1.3.3 Darboux變換 |
| 1.3.4 KP約化方法 |
| 1.4 內(nèi)容及結(jié)構安排 |
| 第二章 色散漸變光纖NLSE模型解析研究 |
| 2.1 (1+1)維NLSE解析解 |
| 2.1.1 背景介紹 |
| 2.1.2 雙線性形式 |
| 2.1.3 孤子解 |
| 2.2 (2+1)維NLSE解析解 |
| 2.2.1 背景介紹 |
| 2.2.2 雙線性形式 |
| 2.2.3 孤子解 |
| 2.3 兩種類型下孤子圖像與特征分析 |
| 2.4 本章小結(jié) |
| 第三章 高階NLSE模型解析研究 |
| 3.1 背景介紹 |
| 3.2 雙線性形式 |
| 3.3 孤子解 |
| 3.4 孤子動力學分析 |
| 3.5 本章小節(jié) |
| 第四章 高階變系數(shù)(2+1)維NLSE模型解析解研究 |
| 4.1 背景介紹 |
| 4.2 雙線性形式 |
| 4.3 孤子解 |
| 4.4 孤子動力學分析 |
| 4.5 本章小結(jié) |
| 第五章 總結(jié)與展望 |
| 5.1 總結(jié) |
| 5.2 展望 |
| 參考文獻 |
| 致謝 |
| 攻讀學位期間取得的研究成果 |
（3）局域波和調(diào)制不穩(wěn)定性的若干問題研究（論文提綱范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 緒論 |
| 1.1 非線性局域波 |
| 1.2 調(diào)制不穩(wěn)定性分析 |
| 1.3 Darboux變換方法 |
| 1.4 Hirota雙線性方法 |
| 1.5 本文選題和主要工作 |
| 第二章 六階非線性Schr(?)dinger方程局域波的動力學 |
| 2.1 無窮階非線性Schr(?)dinger方程族 |
| 2.2 無窮階NLS方程族的調(diào)制不穩(wěn)定性分析 |
| 2.3 六階NLS方程的廣義Darboux變換 |
| 2.4 六階NLS方程的怪波解 |
| 2.5 一階怪波解的譜分析 |
| 2.6 本章小結(jié) |
| 第三章 廣義耦合Fokas-Lenells方程局域波的動力學 |
| 3.1 廣義耦合Fokas-Lenells方程 |
| 3.2 gc-FL方程的調(diào)制不穩(wěn)定性分析 |
| 3.3 gc-FL方程的無窮多守恒律和Darboux變換 |
| 3.4 gc-FL方程局域波之間的相互作用解 |
| 3.5 本章小結(jié) |
| 第四章 3+1維非線性系統(tǒng)的局域波及相互作用解 |
| 4.1 3+1維Hirota雙線性方程的局域波解 |
| 4.2 3+1維廣義Jimbo-Miwa方程的局域波及相互作用解 |
| 4.3 3+1維非線性演化方程的局域波及相互作用解 |
| 4.4 本章小結(jié) |
| 第五章 3+1維KS方程的高階有理解和共振解 |
| 5.1 3+1維KS方程 |
| 5.2 亮暗高階有理解 |
| 5.3 亮暗N波共振解 |
| 5.4 本章小結(jié) |
| 第六章 總結(jié)與展望 |
| 6.1 本文總結(jié) |
| 6.2 未來工作展望 |
| 附錄A 3+1維KS方程的有理解 |
| A.13+1維KS方程的三階有理解中P1和Q1的表達式 |
| A.23+1維KS方程的廣義有理解中R和S的表達式 |
| 參考文獻 |
| 致謝 |
| 攻讀博士學位期間發(fā)表論文、參與科研和獲得榮譽情況 |
（4）等離子體、海森堡鐵磁自旋鏈中非線性模型的Lie群分析及解析研究（論文提綱范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 緒論 |
| 1.1 研究背景綜述 |
| 1.1.1 等離子體中的非線性波 |
| 1.1.2 海森堡鐵磁自旋鏈中的非線性波 |
| 1.1.3 對稱與守恒 |
| 1.2 本文所需研究方法 |
| 1.2.1 Lie群理論 |
| 1.2.2 伴隨方程法 |
| 1.2.3 Hirota方法 |
| 1.2.4 Darboux變換法 |
| 1.3 本文的研究內(nèi)容和結(jié)構安排 |
| 參考文獻 |
| 第二章 E-i磁化等離子體中(3+1)維修正Zakharov-Kuznetsov方程的Lie群分析及解析研究 |
| 2.1 (3+1)維修正Zakharov-Kuznetsov方程 |
| 2.2 方程(2-5)的雙線性形式及孤子解 |
| 2.2.1 雙線性形式 |
| 2.2.2 孤子解 |
| 2.2.3 等離子體聲波傳播機制及相互作用分析 |
| 2.3 方程(2-5)的Lie群分析 |
| 2.3.1 Lie對稱群 |
| 2.3.2 Lie對稱約化 |
| 2.4 方程(2-5)的守恒律 |
| 2.5 本章小結(jié) |
| 參考文獻 |
| 第三章 E-p-i磁化等離子體中(2+1)維修正Zakharov-Kuznetsov方程的Lie群分析及解析研究 |
| 3.1 (2+1)維修正Zakharov-Kuznetsov方程 |
| 3.2 方程(3-6)的Lie群分析 |
| 3.3 方程(3-6)的解析解 |
| 3.3.1 求解約化方程(Ⅱ) |
| 3.3.2 求解約化方程(Ⅲ) |
| 3.3.3 求解約化方程(Ⅴ) |
| 3.4 離子聲漂移孤波和周期波傳播機制分析 |
| 3.4.1 多個離子聲漂移孤波間的相互作用 |
| 3.4.2 周期波傳播機制分析 |
| 3.5 方程(3-6)的守恒律 |
| 3.5.1 嚴格自伴性和非線性自伴性 |
| 3.5.2 守恒律 |
| 3.6 本章小結(jié) |
| 參考文獻 |
| 第四章 E-p-i磁化等離子體中(3+1)維Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的Lie群分析及解析研究 |
| 4.1 (3+1)維Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程 |
| 4.2 方程(4-4)的Lie群分析 |
| 4.3 方程(4-4)的解析研究 |
| 4.4 方程(4-4)的守恒律 |
| 4.4.1 非線性自伴性 |
| 4.4.2 守恒律 |
| 4.5 本章小結(jié) |
| 參考文獻 |
| 第五章 海森堡鐵磁自旋鏈中(2+1)維非線性Schrodinger方程的Lie群分析及解析研究 |
| 5.1 (2+1)維非線性Schrodinger方程 |
| 5.2 方程(5-2)的Lie群分析及群不變解 |
| 5.2.1 Lie群分析 |
| 5.2.2 群不變解及磁孤子傳播機制分析 |
| 5.3 自旋呼吸子及其轉(zhuǎn)換 |
| 5.3.1 方程(5-2)的Lax對與呼吸子解 |
| 5.3.2 一階自旋呼吸子及其轉(zhuǎn)換 |
| 5.3.3 二階自旋呼吸子及其轉(zhuǎn)換 |
| 5.4 方程(5-2)的半有理解 |
| 5.5 本章小結(jié) |
| 參考文獻 |
| 第六章 總結(jié)與展望 |
| 6.1 本文工作的總結(jié) |
| 6.2 對未來工作的展望 |
| 致謝 |
| 攻讀博士學位期間發(fā)表和完成的學術論文目錄 |
（5）非線性偏微分方程精確解及其動力學性質(zhì)研究（論文提綱范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 緒論 |
| 1.1 幾類特殊的精確解 |
| 1.1.1 孤立波 |
| 1.1.2 怪波(rogue wave) |
| 1.1.3 Lump波 |
| 1.1.4 呼吸子 |
| 1.2 一些基本的方法 |
| 1.2.1 Hirota雙線性方法 |
| 1.2.2 Bell多項式 |
| 1.2.3 Backlund變換 |
| 1.3 論文的主要內(nèi)容和安排 |
| 第二章 Lump解及其交互作用解 |
| 2.1 Lump解求解方法 |
| 2.2 (3+1)維孤子方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.2.1 Lump解和孤子解之間的交互作用 |
| 2.2.2 Lump解和周期解之間的交互作用 |
| 2.3 (2+1)維非對稱NNV方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.3.1 Lump解 |
| 2.3.2 Lump波和孤子的交互作用解 |
| 2.4 修改后的lump解求解方法 |
| 2.5 (3+1)維廣義變系數(shù)KP方程的lump解 |
| 2.5.1 Lump解 |
| 2.5.2 動力學行為分析 |
| 2.6 (2+1)維變系數(shù)KP方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.6.1 Lump解 |
| 2.6.2 Lump波和單孤立波交互作用 |
| 2.6.3 Lump波和雙孤立波交互作用 |
| 第三章 (2+1)維破裂孤子方程的新雙周期孤子解 |
| 3.1 (2+1)維破裂孤子方程 |
| 3.2 (2+1)維破裂孤子方程的新雙周期解 |
| 第四章 (3+1)維BLMP方程的非行波精確解 |
| 4.1 (3+1)維BLMP方程 |
| 4.2 (3+1)維BLMP方程的非行波精確解 |
| 第五章 淺水波方程的自Backlund變換和多孤子解 |
| 5.1 (3+1)維廣義淺水波方程 |
| 5.2 自Backlund變換 |
| 5.3 非行波孤子型解 |
| 5.4 多孤子解 |
| 5.5 總結(jié) |
| 第六章 KP方程、Ito方程、KdV方程與變系數(shù)淺水波方程的精確解 |
| 6.1 新(3+1)維廣義KP方程的周期孤立波解 |
| 6.2 (2+1)維Ito方程的周期孤立波解 |
| 6.3 (2+1)維KdV方程的精確解 |
| 6.4 (3+1)維廣義變系數(shù)淺水波方程精確解及動力學性質(zhì) |
| 6.4.1 精確解 |
| 6.4.2 動力學行為分析 |
| 第七章 Boussinesq方程和變系數(shù)KP方程的多怪波解 |
| 7.1 Boussinesq方程的多怪波解 |
| 7.1.1 針對常系數(shù)方程改進的符號計算方法 |
| 7.1.2 多怪波解 |
| 7.2 變系數(shù)KP方程的多怪波解 |
| 7.2.1 針對變系數(shù)方程改進的符號計算方法 |
| 7.2.2 多怪波解 |
| 第八章 總結(jié)與展望 |
| 參考文獻 |
| 致謝 |
| 攻讀博士學位期間發(fā)表和完成的學術論文目錄 |
（6）基于達布變換和雙線性形式的非線性方程的精確解研究（論文提綱范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 緒論 |
| 1.1 孤子理論的產(chǎn)生和發(fā)展 |
| 1.2 相關理論概述 |
| 1.2.1 可積系統(tǒng)的構造 |
| 1.2.2 達布變換法 |
| 1.2.3 Hirota雙線性方法和廣義雙線性方法 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第二章 達布變換及其應用 |
| 2.1 達布變換理論的基本思想 |
| 2.2 達布變換在Dirac-type方程上的應用 |
| 2.3 達布變換在超NLS-m Kd V方程上的應用 |
| 2.4 總結(jié) |
| 第三章 有理函數(shù)變換法及其拓展法 |
| 3.1 有理函數(shù)變換法及其拓展的主要思想 |
| 3.2 有理函數(shù)變換法在(3+1)維擴展JM方程中的應用 |
| 3.3 拓展有理函數(shù)變換法在(3+1)維擴展JM方程中的應用 |
| 3.4 總結(jié) |
| 第四章 正二次函數(shù)法及其拓展法 |
| 4.1 正二次函數(shù)法的主要思想 |
| 4.2 正二次函數(shù)法的應用 |
| 4.2.1 廣義(3+1)維 KP方程的lump類型解 |
| 4.2.2 約化的(2+1)維 KP方程的lump解 |
| 4.3 拓展的正二次函數(shù)法 |
| 4.3.1 Hirota-Satsuma-Ito方程的lump-stripe解 |
| 4.3.2 某個非線性方程的怪波解 |
| 4.3.3 (3+1)維擴展非線性方程的多波浪解 |
| 4.4 總結(jié) |
| 第五章 結(jié)論與展望 |
| 參考文獻 |
| 攻讀學位期間的研究成果 |
| 致謝 |
（7）若干非線性微分方程的對稱性、反散射變換以及解析解的研究（論文提綱范文）
| 致謝 |
| 摘要 |
| abstract |
| 1 緒論 |
| 1.1 研究背景及意義 |
| 1.2 研究內(nèi)容與擬采取的方法 |
| 2 非線性性薛定諤方程的Lie對稱性分析、守恒律和解析解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 廣義高階導數(shù)NLS方程的Lie對稱性分析、守恒定律及精確解 |
| 2.3 (2+1)維手性NLS方程的Lie對稱分析、守恒定律及解析解 |
| 3 四階非線性性薛定諤方程的反散射變換和多孤子解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 直散射變換 |
| 3.3 反散射變換 |
| 3.4 多孤子解 |
| 4 具有非零邊界條件的實驗室框架下的非線性性薛定諤方程的黎曼-希爾伯特方方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 直接散射問題 |
| 4.3 反散射問題:單極點 |
| 4.4 孤子解 |
| 4.5 反散射問題:雙極點 |
| 5 幾類非線性微分方程的孤子解及穩(wěn)定性分析 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 廣義Hirota方程的光孤子、復孤子、高斯孤子和冪級數(shù)解 |
| 5.3 廣義NLS方程的調(diào)制不穩(wěn)定性分析、亮、暗、復孤子解 |
| 5.4 二維復Ginzburg-Landau方程的穩(wěn)定性分析、光孤子和復孤子解 |
| 6 (3+1)維非線性性演化方程的雙線性性形式、lump解、lumpoff和瞬時/怪波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 (3+1)維不可積KdV型方程的怪波、同宿呼吸波和孤子波 |
| 6.3 (3+1)維B型Kadovtsev-Petviashvili方程的雙線性形式、lump解、lumpoff和瞬時波解 |
| 7 總結(jié)與展望 |
| 7.1 本文總結(jié) |
| 7.2 展望 |
| 參考文獻 |
| 作者簡歷 |
| 學位論文數(shù)據(jù)集 |
（8）非線性發(fā)展方程的孤子解及相關性質(zhì)（論文提綱范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 緒論 |
| 1.1 背景介紹及研究現(xiàn)狀 |
| 1.1.1 非線性發(fā)展方程 |
| 1.1.2 孤子 |
| 1.2 研究方法介紹 |
| 1.2.1 Hirota雙線性方法和Bell多項式方法 |
| 1.2.2 Painlevé分析 |
| 1.2.3 B?cklund變換 |
| 1.2.4 Lax可積 |
| 1.2.5 Darboux變換 |
| 1.2.6 守恒律 |
| 1.3 論文的主要工作和安排 |
| 參考文獻 |
| 第二章 光纖中高階非線性Schr?dinger模型的孤子解研究 |
| 2.1 方程(2-2)的建立及研究現(xiàn)狀 |
| 2.2 方程(2-2)的Lax對及無窮守恒律 |
| 2.3 Darboux變換與孤子解 |
| 2.3.1 方程(2-2)的Darboux變換 |
| 2.3.2 方程(2-2)的孤子解 |
| 2.4 方程(2-2)的孤子解的討論與分析 |
| 2.5 本章小結(jié) |
| 參考文獻 |
| 第三章 海森堡鐵磁自旋鏈中(2+1)維非線性Schr?dinger方程的孤子解研究 |
| 3.1 常系數(shù)NLS方程 |
| 3.1.1 雙線性形式 |
| 3.1.2 孤子解 |
| 3.1.3 暗單雙孤子性質(zhì) |
| 3.1.4 線性穩(wěn)定性分析 |
| 3.2 變系數(shù)高階NLS方程 |
| 3.2.1 Lax對和無窮守恒律 |
| 3.2.2 雙線性形式及暗孤子解 |
| 3.2.3 討論與分析 |
| 3.3 本章小結(jié) |
| 參考文獻 |
| 第四章 磁化等離子體中Schr?dinger-Boussinesq系統(tǒng)的孤子解研究 |
| 4.1 系統(tǒng)(4-1)的建立及研究現(xiàn)狀 |
| 4.2 系統(tǒng)(4-1)的雙線性形式及孤子解 |
| 4.2.1 系統(tǒng)(4-1)的雙線性形式 |
| 4.2.2 系統(tǒng)(4-1)的孤子解 |
| 4.3 系統(tǒng)(4-1)孤子解的討論與分析 |
| 4.4 本章小結(jié) |
| 參考文獻 |
| 第五章 BK方程孤子解及KdV方程孤子解、周期波和呼吸波的研究 |
| 5.1 Broer-Kaup方程的建立及研究現(xiàn)狀 |
| 5.1.1 雙線性形式及孤子解 |
| 5.1.2 B?cklund變換及Lax對 |
| 5.1.3 討論與分析 |
| 5.2 KdV方程的建立及研究現(xiàn)狀 |
| 5.2.1 雙線性形式及N孤子解 |
| 5.2.2 Bácklund變換及Lax對 |
| 5.2.3 周期波和呼吸波解 |
| 5.3 本章小結(jié): |
| 參考文獻 |
| 第六章 Boussinesq和Davey-Stewartson系統(tǒng)在流體中的孤子解研究 |
| 6.1 Boussinesq系統(tǒng)的建立及研究現(xiàn)狀 |
| 6.1.1 系統(tǒng)(6-3)的雙線性形式及孤子解 |
| 6.1.2 系統(tǒng)(6-3)的Bácklund變換和Lax對 |
| 6.1.3 討論與分析 |
| 6.2 Davey-Stewartson系統(tǒng)的建立及研究現(xiàn)狀 |
| 6.2.1 系統(tǒng)(6-24)的雙線性形式及孤子解 |
| 6.2.2 系統(tǒng)(6-24)的Bácklund變換和Lax對 |
| 6.2.3 討論與分析 |
| 6.3 本章小結(jié) |
| 參考文獻 |
| 第七章 總結(jié)與展望 |
| 7.1 總結(jié) |
| 7.2 展望 |
| 致謝 |
| 攻讀博士學位期間發(fā)表和完成的學術論文目錄 |
（9）高維非線性演化方程高階波解的符號計算研究（論文提綱范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 緒論 |
| 1.1 非線性波 |
| 1.2 構造高維非線性演化方程精確解的方法和算法 |
| 1.2.1 齊次平衡法與n階展開方法 |
| 1.2.2 Painlev(?) 截斷展開 |
| 1.2.3 Hirota雙線性方法與簡單Hirota方法 |
| 1.3 符號計算 |
| 1.4 本文選題和主要工作 |
| 第二章 兩個高維非線性演化方程的不同類型高階波解的符號計算研究 |
| 2.1 Hirota雙線性方法及其局限性 |
| 2.2 簡單Hirota方法及N-孤子解公式的修正 |
| 2.3 繼承求解和分組并行計算技術 |
| 2.4 (3+1) 維BKP方程多種高階波解的構造 |
| 2.4.1 N-孤子解 |
| 2.4.2 周期波解 |
| 2.4.3 lump解 |
| 2.4.4 孤子與lump的相互作用解 |
| 2.4.5 怪波解 |
| 2.5 (3+1) 維擴展的JM方程多種高階波解的構造 |
| 2.5.1 N-孤子解 |
| 2.5.2 呼吸子解 |
| 2.5.3 lump解 |
| 2.5.4 相互作用解 |
| 2.6 本章小結(jié) |
| 第三章 構造高維非線性演化方程高階相互作用解的新算法及其應用 |
| 3.1 算法描述 |
| 3.2 應用實例 |
| 3.2.1 (4+1) 維Fokas方程的高階相互作用解 |
| 3.2.2 (3+1) 維廣義的KP方程的高階相互作用解 |
| 3.3 本章小結(jié) |
| 第四章 總結(jié)與展望 |
| 4.1 本文工作總結(jié) |
| 4.2 未來工作展望 |
| 參考文獻 |
| 致謝 |
| 研究成果 |
（10）幾類整數(shù)和分數(shù)階微分方程解的若干問題的研究（論文提綱范文）
| 致謝 |
| 摘要 |
| abstract |
| 1 緒論 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究內(nèi)容與擬采用的方法 |
| 2 (3+1)維 Jimbo-Miwa方程的的多孤子解和高階半有理解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 (3+1)維 Jimbo-Miwa方程的多孤子解 |
| 2.3 (3+1)維 Jimbo-Miwa方程的半有理解 |
| 2.4 小結(jié) |
| 3 一些分數(shù)階偏微分分方程的大量的精確解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 預備知識 |
| 3.3 廣義時間分數(shù)階泡沫排水方程的大量精確解 |
| 3.4 適形時空分數(shù)階修正的等寬方程的大量的精確解 |
| 3.5 小結(jié) |
| 4 耦合時間分數(shù)階Boussinesq-Burgers系統(tǒng)的一些精確解和守恒律 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 預備知識 |
| 4.3 對稱分析 |
| 4.4 冪級數(shù)解 |
| 4.5 守恒律 |
| 4.6 數(shù)值模擬與討論 |
| 4.7 小結(jié) |
| 5 總結(jié)與展望 |
| 5.1 本文總結(jié) |
| 5.2 展望 |
| 參考文獻 |
| 作者簡歷 |
| 學位論文數(shù)據(jù)集 |
四、(3+1)維非線性方程的多孤子解（論文參考文獻）
- [1]若干非線性模型的解析解研究[D]. 郭漢東. 上海大學, 2021
- [2]高維非線性系統(tǒng)解析解的研究與應用[D]. 劉素芝. 北京郵電大學, 2021(01)
- [3]局域波和調(diào)制不穩(wěn)定性的若干問題研究[D]. 岳云飛. 華東師范大學, 2021
- [4]等離子體、海森堡鐵磁自旋鏈中非線性模型的Lie群分析及解析研究[D]. 杜夏夏. 北京郵電大學, 2021(01)
- [5]非線性偏微分方程精確解及其動力學性質(zhì)研究[D]. 劉建國. 北京郵電大學, 2021(01)
- [6]基于達布變換和雙線性形式的非線性方程的精確解研究[D]. 哈金婷. 青島大學, 2020(01)
- [7]若干非線性微分方程的對稱性、反散射變換以及解析解的研究[D]. 茆晉晉. 中國礦業(yè)大學, 2020(01)
- [8]非線性發(fā)展方程的孤子解及相關性質(zhì)[D]. 趙學慧. 北京郵電大學, 2020(01)
- [9]高維非線性演化方程高階波解的符號計算研究[D]. 李偉. 華東師范大學, 2020(11)
- [10]幾類整數(shù)和分數(shù)階微分方程解的若干問題的研究[D]. 石丹丹. 中國礦業(yè)大學, 2020(01)
標簽：線性系統(tǒng)論文; 線性模型論文; 非線性論文; 電子自旋論文; 科學論文;